kaoyan1basic 线性代数 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（选择题） 12．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实矩阵，则＂ $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵＂是＂ $\boldsymbol{A}$ 有 3 个相互正交的特征向量＂的（ ）。 （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：实对称矩阵必可正交对角化，即存在正交矩阵$Q$使得$Q^T A Q = \Lambda$，$Q$的列向量是相互正交的单位特征向量，故充分性成立。反之，若$A$有3个相互正交的特征向量，则这3个向量构成一组标准正交基，在此基下$A$可对角化，且对角矩阵为实对角阵，故$A$为实对称矩阵，必要性成立。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目条件和结论
题目给出一个3阶实矩阵A，问“A是实对称矩阵”是“A有3个相互正交的特征向量”的什么条件。需要判断充分性和必要性。
提示：注意“实对称矩阵”和“正交特征向量”的关系。
步骤 2/4
目标：证明充分性：若A是实对称矩阵，则A有3个相互正交的特征向量
由实对称矩阵的性质，A可正交对角化，即存在正交矩阵Q使得Q^T A Q = Λ，其中Λ是对角矩阵。Q的列向量是A的相互正交的单位特征向量，因此A有3个相互正交的特征向量。
公式：Q^T A Q = Λ
提示：实对称矩阵的特征值都是实数，且不同特征值对应的特征向量正交。
步骤 3/4
目标：证明必要性：若A有3个相互正交的特征向量，则A是实对称矩阵
设A有3个相互正交的特征向量，将它们单位化后得到一组标准正交基。在这组基下，A可对角化，即存在正交矩阵P使得P^T A P = D，其中D是对角矩阵（特征值为实数）。于是A = P D P^T，从而A^T = (P D P^T)^T = P D^T P^T = P D P^T = A，所以A是实对称矩阵。
公式：A = P D P^T
提示：注意特征向量相互正交且非零，可单位化构成正交矩阵。
步骤 4/4
目标：得出结论
充分性和必要性均成立，因此“A是实对称矩阵”是“A有3个相互正交的特征向量”的充分必要条件。
提示：选择C选项。
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