kaoyan1basic 线性代数 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（选择题） 11．设 4 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{4}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{A})=(\quad)$ 。 （A） 0 （B） 0 或 1 （C） 1 或 2 （D） 2 或 3
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：实对称矩阵可对角化，设$\lambda$是$A$的特征值，则$\lambda^4=0$，故$\lambda=0$，即$A$的特征值全为0，因此$A=O$，$r(A)=0$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定矩阵A的特征值
由于A是实对称矩阵，故可对角化。设λ是A的特征值，由A^4=O知λ^4=0，因此λ=0。所以A的所有特征值均为0。
公式：A^4=O ⇒ λ^4=0 ⇒ λ=0
提示：实对称矩阵可对角化，特征值均为实数。
步骤 2/3
目标：判断矩阵A是否为零矩阵
因为A可对角化且特征值全为0，所以A相似于零矩阵，即存在可逆矩阵P使得P^{-1}AP=O，从而A=O。
公式：P^{-1}AP=O ⇒ A=O
提示：相似于零矩阵的矩阵只能是零矩阵。
步骤 3/3
目标：计算矩阵A的秩
由于A=O，零矩阵的秩为0，故r(A)=0。
公式：r(O)=0
提示：零矩阵的秩定义为0。
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