kaoyan1basic 线性代数 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & t\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 2\end{array}\right]$ ． （1）$t$ 为何值时，矩阵 $A, B$ 等价？说明理由； （2）$t$ 为何值时，矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 相似？说明理由。
💡 答案解析
**答案**：（1）$t \neq 1$；（2）$t=1$ **解析**： （1）矩阵等价当且仅当秩相等。计算$A$的行列式：$|A|=2 \times (2t) - 1 \times (t) = 4t - t = 3t$，故$r(A)=3$当$t \neq 0$；当$t=0$时，$A$的秩为2。计算$B$的行列式：$|B|=1 \times (1 \times 1 - 2 \times 3) - 2 \times (2 \times 1 - 2 \times 3) + (-1) \times (2 \times 3 - 1 \times 3) = 1 \times (-5) - 2 \times (-4) + (-1) \times 3 = -5 + 8 - 3 = 0$，且$B$有非零2阶子式，故$r(B)=2$。因此$A$与$B$等价当且仅当$r(A)=r(B)=2$，即$t=0$。 （2）矩阵相似的必要条件是特征值相同。计算$C$的特征值：$|C-\lambda E| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 3 & -1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ -1 & 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda) \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)[(2-\lambda)^2 - 1] = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = (2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3)$，特征值为$1,2,3$。$A$的特征多项式为$|A-\lambda E| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & t-\lambda \end{vmatrix} = (t-\lambda)[(2-\lambda)^2 - 1] = (t-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = (t-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3)$。当$t=1$时，$A$的特征值为$1,1,3$，与$C$的特征值不同；当$t=2$时，特征值为$1,2,3$，与$C$相同。由于$A$和$C$均为实对称矩阵，特征值相同时必相似，故$t=2$。
**难度**：★★★☆☆