kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $A$ 为 3 阶实对称方阵，$r(E-A)=1$ ，且 $A^{2}+2 A=3 E$ ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\top} A x$ 的规范形为（ ）。 （A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ （B）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （C）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （D）$-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$r(E-A)=1$，故特征值$1$的几何重数为$2$，即$A$有特征值$1$（二重）。由$A^2+2A=3E$得$(A+3E)(A-E)=0$，故特征值只能为$1$或$-3$。设另一特征值为$\lambda$，则$\text{tr}(A)=1+1+\lambda$，由$A$实对称可对角化，且$r(E-A)=1$，故$\lambda=-3$。因此正特征值个数为2，负特征值个数为1，规范形为$z_1^2+z_2^2-z_3^2$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由条件r(E-A)=1推出特征值1的几何重数
由于A是3阶实对称矩阵，r(E-A)=1，说明齐次线性方程组(E-A)x=0的解空间维数为3-1=2，即特征值1的几何重数为2。又因为实对称矩阵可对角化，几何重数等于代数重数，所以特征值1是二重特征值。
公式：r(E-A)=1 ⇒ dim(null(E-A))=2
提示：实对称矩阵的特征值几何重数等于代数重数。
步骤 2/4
目标：由A^2+2A=3E推导特征值可能取值
由A^2+2A=3E得(A+3E)(A-E)=0。设λ是A的特征值，则(λ+3)(λ-1)=0，所以λ=1或λ=-3。因此A的特征值只能是1或-3。
公式：(A+3E)(A-E)=0 ⇒ (λ+3)(λ-1)=0
提示：矩阵多项式为零，特征值满足多项式方程。
步骤 3/4
目标：确定第三个特征值
已知特征值1是二重，设第三个特征值为λ。由于A是实对称矩阵，可对角化，且r(E-A)=1，说明特征值1的几何重数为2，代数重数也为2。那么第三个特征值只能是-3（因为不能是1，否则代数重数至少为3，但r(E-A)=1意味着1的几何重数为2，若1是三重则几何重数应为3，矛盾）。因此特征值为1,1,-3。
公式：特征值为1（二重）和-3
提示：利用迹或秩条件验证。
步骤 4/4
目标：写出二次型的规范形
正特征值个数为2，负特征值个数为1，所以二次型的规范形为z1^2+z2^2-z3^2。
公式：规范形：z1^2+z2^2-z3^2
提示：规范形中正平方项对应正特征值，负平方项对应负特征值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。