kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-3 x_{2} x_{3}$ 的规范形为（）。 （A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （B）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （C）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ （D）$-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：写出二次型矩阵。$f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3-3x_2x_3$，其矩阵为 $$A=\begin{pmatrix} 0 & \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & 0 & -\frac32 \\ \frac12 & -\frac32 & 0 \end{pmatrix}.$$ 步骤2：计算特征值。由$|\lambda E-A|=0$得特征值为$\lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=-2$。 步骤3：规范形为$z_1^2-z_2^2-z_3^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出二次型矩阵
二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3 对应的矩阵 A 为对称矩阵，其中 a12=a21=1/2，a13=a31=1/2，a23=a32=-3/2，主对角线元素为0。
公式：A = [[0, 1/2, 1/2], [1/2, 0, -3/2], [1/2, -3/2, 0]]
提示：注意二次型中交叉项系数要除以2填入矩阵的对称位置。
步骤 2/3
目标：计算特征值
解特征方程 |λE - A| = 0，得到特征值 λ1=1, λ2=-1, λ3=-2。
公式：|λE - A| = λ^3 - (7/2)λ - 1 = 0，解得 λ=1, -1, -2
提示：特征值计算可先化简行列式，或利用配方法求正负惯性指数。
步骤 3/3
目标：确定规范形
特征值正负个数决定规范形：正特征值个数为1，负特征值个数为2，故规范形为 z1^2 - z2^2 - z3^2。
公式：规范形：z1^2 - z2^2 - z3^2
提示：规范形中平方项系数为±1，顺序无关。
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