kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+a x_{3}\right)\left(x_{1}+5 x_{2}+b x_{3}\right)$ 的正惯性指数 $p(\quad)$ 。 （A）与 $a$ 有关，与 $b$ 无关 （B）与 $a$ 无关，与 $b$ 有关 （C）与 $a, b$ 均有关 （D）与 $a, b$ 均无关
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：将二次型展开，得 $$f=(x_1+3x_2+ax_3)(x_1+5x_2+bx_3)=x_1^2+8x_1x_2+(a+b)x_1x_3+15x_2^2+(3b+5a)x_2x_3+abx_3^2.$$ 步骤2：二次型矩阵为 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & \frac{a+b}{2} \\ 4 & 15 & \frac{3b+5a}{2} \\ \frac{a+b}{2} & \frac{3b+5a}{2} & ab \end{pmatrix}.$$ 步骤3：计算顺序主子式：一阶$1>0$；二阶$\begin{vmatrix}1&4\\4&15\end{vmatrix}=-1<0$，故负惯性指数至少为1，正惯性指数为1，与$a,b$无关。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：展开二次型表达式
将二次型 f = (x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3) 展开，得到 f = x1^2 + 8x1x2 + (a+b)x1x3 + 15x2^2 + (3b+5a)x2x3 + abx3^2。
公式：f = x1^2 + 8x1x2 + (a+b)x1x3 + 15x2^2 + (3b+5a)x2x3 + abx3^2
提示：注意交叉项系数要乘以2后除以2得到矩阵元素。
步骤 2/3
目标：写出二次型矩阵
根据展开式，二次型矩阵 A 为对称矩阵，其中 a11=1, a22=15, a33=ab, a12=a21=4, a13=a31=(a+b)/2, a23=a32=(3b+5a)/2。
公式：A = [[1, 4, (a+b)/2], [4, 15, (3b+5a)/2], [(a+b)/2, (3b+5a)/2, ab]]
提示：矩阵元素中交叉项系数为展开式中系数的一半。
步骤 3/3
目标：计算顺序主子式判断正负惯性指数
计算一阶顺序主子式：|1| = 1 > 0；二阶顺序主子式：det([[1,4],[4,15]]) = 1*15 - 4*4 = -1 < 0。由于二阶顺序主子式为负，矩阵不是正定也不是负定，且负惯性指数至少为1，而秩至少为2，故正惯性指数为1。
公式：Δ1 = 1 > 0; Δ2 = -1 < 0
提示：顺序主子式符号变化表明正负惯性指数，与a,b无关。
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