kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant 3}|i-j| x_{i} x_{j}$ 的规范形为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$z_1^2+z_2^2-z_3^2$ **解析**： 步骤1：写出二次型矩阵。$|i-j|$的值：$|1-1|=0,|1-2|=1,|1-3|=2,|2-1|=1,|2-2|=0,|2-3|=1,|3-1|=2,|3-2|=1,|3-3|=0$，故 $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 步骤2：计算特征值。由$|\lambda E-A|=0$得特征多项式$\lambda^3-6\lambda-4=0$，解得特征值为$\lambda_1=2\sqrt{3},\lambda_2=-2\sqrt{3},\lambda_3=0$。 步骤3：规范形为$z_1^2+z_2^2-z_3^2$（正惯性指数2，负惯性指数1）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出二次型矩阵
根据系数|i-j|，写出矩阵A的元素：a_{11}=0, a_{12}=1, a_{13}=2, a_{21}=1, a_{22}=0, a_{23}=1, a_{31}=2, a_{32}=1, a_{33}=0。因此矩阵A为：
公式：A = [[0,1,2],[1,0,1],[2,1,0]]
提示：注意|i-j|是对称的，所以矩阵是对称矩阵。
步骤 2/3
目标：计算特征值
解特征方程|λE-A|=0，即行列式|λ, -1, -2; -1, λ, -1; -2, -1, λ| = 0，展开得λ^3 - 6λ - 4 = 0。解得特征值为λ1=2√3, λ2=-2√3, λ3=0。
公式：|λE-A| = λ^3 - 6λ - 4 = 0
提示：特征多项式可通过行列式计算或观察矩阵结构简化。
步骤 3/3
目标：确定规范形
特征值正负个数决定正负惯性指数：正特征值1个（2√3），负特征值1个（-2√3），零特征值1个。因此规范形为z1^2 + z2^2 - z3^2。
公式：规范形：z1^2 + z2^2 - z3^2
提示：规范形中平方项系数为±1，顺序可调，但正负个数固定。
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