kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 为一组不全为零的实数，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{i} a_{j} x_{i} x$, 的规范形为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$z_1^2$或$z_1^2+z_2^2$（取决于$a_i$不全为零，但秩为1） **解析**： 步骤1：二次型$f=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 a_i a_j x_i x_j=(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2$。 步骤2：由于$a_1,a_2,a_3$不全为零，该二次型秩为1，且平方项系数非负，故规范形为$z_1^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将二次型表示为平方和形式
观察到二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 a_i a_j x_i x_j$，可以写成 $(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2$。
公式：$\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 a_i a_j x_i x_j = (a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2$
提示：注意二次型是向量内积的平方形式。
步骤 2/3
目标：确定二次型的秩
由于 $a_1,a_2,a_3$ 不全为零，线性形式 $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3$ 非零，因此平方后二次型的秩为1。
公式：秩为1
提示：秩等于线性形式的非零系数个数。
步骤 3/3
目标：写出规范形
二次型是平方和，且系数为正，所以规范形为 $z_1^2$。
公式：规范形：$z_1^2$
提示：规范形中只含一个平方项。
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