kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 在 $\boldsymbol{x}=x_{0}= [1,1,1]^{\mathrm{T}}$ 处的值 $f(1,1,1)=x_{0}^{\mathrm{T}} A x_{0}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$9$ **解析**： 步骤1：由条件，$A$每行元素之和为3，即$A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$。 步骤2：$f(1,1,1)=x_0^T A x_0$，其中$x_0=(1,1,1)^T$，则$Ax_0=3x_0$，故$x_0^T A x_0=x_0^T(3x_0)=3(x_0^T x_0)=3\times3=9$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用每行元素之和为3的条件，得到特征向量关系
由于A每行元素之和为3，即A乘以全1向量等于3倍全1向量，因此有A(1,1,1)^T = 3(1,1,1)^T。
公式：A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
提示：注意行和条件对应特征向量(1,1,1)^T和特征值3。
步骤 2/2
目标：计算二次型在x0处的值
将x0=(1,1,1)^T代入二次型f=x^T A x，得到f(1,1,1)=x0^T A x0。由第一步知Ax0=3x0，代入得x0^T (3x0)=3(x0^T x0)。计算x0^T x0=1^2+1^2+1^2=3，故结果为3×3=9。
公式：f(1,1,1)=x_0^T A x_0 = x_0^T (3x_0) = 3(x_0^T x_0) = 3 \times 3 = 9
提示：注意二次型是数值，直接代入计算即可。
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