kaoyan1basic 线性代数 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$3$ **解析**： 步骤1：展开二次型： $$f=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_4)^2+(x_4+x_1)^2=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_4^2+2x_1x_2+2x_2x_3+2x_3x_4+2x_4x_1.$$ 步骤2：写出矩阵 $$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ 步骤3：求秩。计算行列式$|A|=0$，且三阶顺序主子式$\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}=4\neq0$，故秩为3。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：展开二次型并合并同类项
将四个平方项展开：$(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$，$(x_2+x_3)^2 = x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2$，$(x_3+x_4)^2 = x_3^2 + 2x_3x_4 + x_4^2$，$(x_4+x_1)^2 = x_4^2 + 2x_4x_1 + x_1^2$。相加得 $f = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_4^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 + 2x_3x_4 + 2x_4x_1$。
公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
提示：注意交叉项系数为2，且$x_1x_4$项来自$(x_4+x_1)^2$。
步骤 2/3
目标：写出二次型的矩阵
根据二次型表达式，平方项系数对应主对角线元素，交叉项系数的一半对应非对角线元素。矩阵 $A$ 为4阶对称矩阵：$A_{11}=2, A_{22}=2, A_{33}=2, A_{44}=2$；$A_{12}=A_{21}=1$（因为$2x_1x_2$系数为2，一半为1）；$A_{23}=A_{32}=1$；$A_{34}=A_{43}=1$；$A_{14}=A_{41}=1$；其余为0。故 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f = x^T A x$，其中 $A$ 对称，$A_{ii}$ 为 $x_i^2$ 系数，$A_{ij}=A_{ji}$ 为 $x_i x_j$ 系数的一半。
提示：检查对称性：$A_{14}=A_{41}=1$，$A_{24}=A_{42}=0$。
步骤 3/3
目标：计算矩阵的秩
先计算行列式 $|A|$。将第2、3、4行加到第1行，得第1行全为4，提取4后第1行全1，再化简得 $|A|=0$。然后计算三阶顺序主子式：左上角3阶子式 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\times(2\times2-1\times1) -1\times(1\times2-1\times0) +0 = 2\times3 -1\times2 = 6-2=4 \neq 0$。因此矩阵的秩为3。
公式：矩阵秩等于最高阶非零子式的阶数。
提示：行列式为零说明秩小于4，三阶子式非零说明秩至少为3，故秩为3。
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