kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1-a) x_{1}^{2}+(1-a) x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2(1+a) x_{1} x_{2}$ 的秩为 2 ，则 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$k\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\ k\in\mathbb{R}$ **解析**： 步骤1：写出二次型矩阵 $$A=\begin{pmatrix} 1-a & 1+a & 0 \\ 1+a & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$ 步骤2：秩为2，则$|A|=0$。计算$|A|=2[(1-a)^2-(1+a)^2]=2(-4a)=0$，得$a=0$。 步骤3：$a=0$时，$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$，解$f=0$即$x^T A x=0$，得$x_1+x_2=0$且$x_3=0$，通解为$k(1,-1,0)^T$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出二次型矩阵
根据二次型表达式，得到矩阵 A 的元素：主对角线为系数，混合项系数平分。
公式：A = [[1-a, 1+a, 0], [1+a, 1-a, 0], [0, 0, 2]]
提示：注意 x1x2 系数为 2(1+a)，因此矩阵中对应位置为 (1+a)。
步骤 2/4
目标：利用秩为2求参数a
秩为2，则行列式为0。计算行列式并令其等于0。
公式：|A| = 2[(1-a)^2 - (1+a)^2] = 2(-4a) = 0 ⇒ a=0
提示：行列式按第三行展开或直接计算。
步骤 3/4
目标：代入a并解方程f=0
a=0时，A = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,2]]，f = x1^2 + x2^2 + 2x3^2 + 2x1x2 = (x1+x2)^2 + 2x3^2 = 0。
公式：(x1+x2)^2 + 2x3^2 = 0 ⇒ x1+x2=0 且 x3=0
提示：平方和为零，每个平方项必须为零。
步骤 4/4
目标：写出通解
由 x1+x2=0 得 x2 = -x1，x3=0，自由变量为 x1，令 x1=k，则解向量为 k(1,-1,0)^T。
公式：通解：k(1,-1,0)^T, k∈R
提示：注意通解形式，基础解系只有一个向量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。