kaoyan1basic 线性代数 第21题
📝 题目
### 【基础篇】第21题（解答题） 21．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 通过正交变换化成 $2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ ，方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}=[1,0$ ， $1]^{\mathrm{T}}$ ，求正交变换及二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。
💡 答案解析
**答案**：正交变换矩阵为$\displaystyle \boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$，二次型矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$。 **解析**：步骤1：由正交变换后标准形为$2y_1^2+2y_2^2$，知$\boldsymbol{A}$的特征值为$2,2,0$。步骤2：方程组$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$有解$\boldsymbol{\xi}=[1,0,1]^{\mathrm{T}}$，故$\boldsymbol{\xi}$为特征值0的特征向量。步骤3：设特征值2的特征向量为$\boldsymbol{x}=[x_1,x_2,x_3]^{\mathrm{T}}$，与$\boldsymbol{\xi}$正交，得$x_1+x_3=0$，取$\boldsymbol{\alpha}_1=[1,0,-1]^{\mathrm{T}}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=[0,1,0]^{\mathrm{T}}$。步骤4：单位化得$\displaystyle \boldsymbol{q}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}[1,0,-1]^{\mathrm{T}}$，$\boldsymbol{q}_2=[0,1,0]^{\mathrm{T}}$，$\displaystyle \boldsymbol{q}_3=\frac{1}{\sqrt{2}}[1,0,1]^{\mathrm{T}}$，构成正交变换矩阵$\boldsymbol{Q}=[\boldsymbol{q}_1,\boldsymbol{q}_2,\boldsymbol{q}_3]$。步骤5：由$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}$，其中$\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}(2,2,0)$，计算得$\boldsymbol{A}$。 **难度**：★★★☆☆