kaoyan1basic 线性代数 第20题

**答案**：（1）标准形$f=y_1^2+y_2^2-y_3^2$，$\displaystyle Q=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\0&1&0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$；（2）最大值为$1$，最大值点$(1,0,1)$ **解析**： 步骤1：二次型$f=y^2+2xz$，矩阵$A=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$。 步骤2：特征值：$\det(A-\lambda E)=-\lambda(1-\lambda)(-\lambda)-1\cdot(1-\lambda)\cdot1=-(1-\lambda)(\lambda^2-1)=0$，得$\lambda=1,1,-1$。 步骤3：$\lambda=1$的特征向量：$(A-E)x=0$，得$\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$，$\alpha_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$，正交化：$\beta_1=\alpha_1$，$\beta_2=\alpha_2$（已正交），单位化$\displaystyle p_1=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$，$p_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$。 步骤4：$\lambda=-1$的特征向量：$(A+E)x=0$，得$\alpha_3=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$，单位化$\displaystyle p_3=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$。 步骤5：正交变换$Q=[p_1,p_2,p_3]$，标准形$f=y_1^2+y_2^2-y_3^2$。 步骤6：$\displaystyle g(x,y,z)=\frac{y^2+2xz}{x^2+y^2+z^2}$，在正交变换下，$\displaystyle g=\frac{y_1^2+y_2^2-y_3^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}$，最大值为$1$（当$y_3=0$时），取$y_1=1,y_2=0,y_3=0$，对应$\displaystyle x=Qy=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$，取整得$(1,0,1)$。 **难度**：★★★★☆