kaoyan1basic 线性代数 第19题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第19题（选择题） 19．下列二次型中，是正定二次型的是（ ）。 （A）$f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{1}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}-x_{1}\right)^{2}$ （B）$f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ （C）$f_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ （D）$f_{4}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：正定二次型要求对任意非零向量，函数值大于0。 步骤2：选项A：$f_1=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_4)^2+(x_4-x_1)^2$，取$x_1=x_2=x_3=x_4=1$得$f_1=0$，不正定。 步骤3：选项B：$f_2=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_4)^2+(x_4+x_1)^2$，取$x_1=1,x_2=-1,x_3=1,x_4=-1$得$f_2=0$，不正定。 步骤4：选项C：$f_3=(x_1-x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3-x_4)^2+(x_4+x_1)^2$，取$x_1=1,x_2=1,x_3=-1,x_4=1$得$f_3=0$，不正定。 步骤5：选项D：$f_4=(x_1-x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_4)^2+(x_4+x_1)^2$，矩阵正定，因为平方和形式且系数矩阵满秩。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：理解正定二次型的定义
正定二次型要求对任意非零向量，二次型函数值大于0。
提示：正定二次型的判定方法包括顺序主子式法、特征值法等，但本题可通过构造非零向量使二次型为零来排除选项。
步骤 2/5
目标：检验选项A
对于f1，取x1=x2=x3=x4=1，则f1=0，且该向量非零，故f1不是正定二次型。
提示：注意平方和形式可能在某些非零向量下为零，需检查是否存在非零向量使所有平方项同时为零。
步骤 3/5
目标：检验选项B
对于f2，取x1=1, x2=-1, x3=1, x4=-1，则f2=0，且该向量非零，故f2不是正定二次型。
提示：尝试使每个括号内为零，解线性方程组。
步骤 4/5
目标：检验选项C
对于f3，取x1=1, x2=1, x3=-1, x4=1，则f3=0，且该向量非零，故f3不是正定二次型。
提示：同样构造非零解使每个平方项为零。
步骤 5/5
目标：确认选项D为正定
选项D的二次型可化为平方和形式，且系数矩阵满秩，因此正定。具体地，f4 = (x1-x2)^2 + (x2+x3)^2 + (x3+x4)^2 + (x4+x1)^2，令每个平方项为零，解得唯一零解，故正定。
提示：若所有平方项系数为正且平方项线性无关，则二次型正定。

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