kaoyan1basic 线性代数 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（选择题） 18．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ，则与 $\boldsymbol{A}^{2}$ 既相似又合同的矩阵是 ． （A）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：二次型$f=x_1^2+x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2$，矩阵$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$。 步骤2：$A$的特征值：$\det(A-\lambda E)=0$，得$\lambda=0,2,2$。 步骤3：$A^2$的特征值为$0^2=0,2^2=4,2^2=4$，故$A^2$相似于$\operatorname{diag}(0,4,4)$。 步骤4：$A^2$是实对称，合同要求正惯性指数为2，负惯性指数为0，$\operatorname{diag}(4,4,0)$符合。 **难度**：★★★☆☆