kaoyan1basic 线性代数 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设 3 维列向量 $\alpha-[1,1,1]^{\top}$ ，矩降 $\Lambda-\mathbf{a r}^{\top}$ ， （1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与全部特征向量； （2）求方程组 $(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$（ $k$ 为常数）的通解； （3）求一个正交变换 $x=Q y$ ，将二次型 $f=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形．
💡 答案解析
**答案**：（1）特征值$\lambda_1=3$，特征向量$k\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，$k\neq0$；$\lambda_2=\lambda_3=0$，特征向量$k_1\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$，$k_1,k_2$不全为0；（2）当$k=0$时，通解为$c_1\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$；当$k=-3$时，通解为$c\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$；其他$k$时只有零解；（3）$\displaystyle Q=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}$，标准形$f=3y_1^2$ **解析**： 步骤1：$A=\alpha\alpha^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}$。 步骤2：特征值：$\lambda_1=3$（对应$\alpha$），$\lambda_2=\lambda_3=0$（对应与$\alpha$正交的向量）。 步骤3：特征向量：$\lambda=3$：$k(1,1,1)^{\mathrm{T}}$；$\lambda=0$：$k_1(1,-1,0)^{\mathrm{T}}+k_2(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$。 步骤4：$(A+kE)x=0$，当$k=0$时，$Ax=0$，通解为$\lambda=0$的特征向量；当$k=-3$时，$(A-3E)x=0$，通解为$\lambda=3$的特征向量；其他$k$时，$A+kE$可逆，只有零解。 步骤5：正交变换：$\lambda=3$的特征向量单位化$\displaystyle p_1=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$，$\lambda=0$的特征向量正交化：取$\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$，$\alpha_3=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$，正交化得$\beta_2=\alpha_2$，$\displaystyle \beta_3=\alpha_3-\frac{1}{2}\beta_2=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\-1\end{bmatrix}$，单位化得$\displaystyle p_2=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{bmatrix}$，$\displaystyle p_3=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}$，$Q=[p_1,p_2,p_3]$，标准形$f=3y_1^2$。 **难度**：★★★★☆