kaoyan1basic 线性代数 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（解答题） 16．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+b x_{3}^{0}+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 c_{2} x_{3}$ 经正交变喼 $x=Q y$ 可化为标准形 $-y \hat{i}-y \hat{i}+5 y_{j}^{2}$ ，求； （1）常数 $a, b, c$ 的值： （2）所用正交资换。
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1,b=1,c=2$；（2）$\displaystyle Q=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$ **解析**： 步骤1：二次型矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&2\\2&a&c\\2&c&b\end{bmatrix}$，标准形为$-y_1^2-y_2^2+5y_3^2$，故特征值为$-1,-1,5$。 步骤2：$\operatorname{tr}(A)=1+a+b=(-1)+(-1)+5=3$，得$a+b=2$。 步骤3：$\det A=(-1)(-1)5=5$，计算$\det A=\begin{vmatrix}1&2&2\\2&a&c\\2&c&b\end{vmatrix}=ab+8c-4a-4b-2c^2-4$，代入$a+b=2$，得$ab+8c-8-2c^2-4=5$，即$ab+8c-2c^2=17$。 步骤4：特征值之和为$3$，且$A$的特征多项式有根$-1$，代入$\det(A+E)=0$，得$\begin{vmatrix}2&2&2\\2&a+1&c\\2&c&b+1\end{vmatrix}=0$，化简得$(a+1)(b+1)-c^2+2c-2a-2b-4=0$，结合$a+b=2$，解得$a=1,b=1,c=2$。 步骤5：求特征向量：$\lambda=-1$时，$(A+E)x=0$，得$\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$，$\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}$，正交化得$\beta_1=\alpha_1$，$\displaystyle \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}-\frac{0}{2}\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}$，单位化$\displaystyle p_1=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$，$\displaystyle p_2=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}$。 步骤6：$\lambda=5$时，$(A-5E)x=0$，得$\alpha_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，单位化$\displaystyle p_3=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$。 步骤7：正交变换$Q=[p_1,p_2,p_3]$。 **难度**：★★★★☆