kaoyan1basic 线性代数 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$C=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{bmatrix}$ **解析**： 步骤1：$A$是实对称矩阵，求可逆矩阵$C$使$C^{\mathrm{T}}AC=\Lambda$，即合同对角化。 步骤2：用配方法：$f=x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$。 步骤3：$\displaystyle f=(x_1+2x_2+x_3)^2-4x_2^2-4x_2x_3-x_3^2+2x_2^2+x_3^2+2x_2x_3=(x_1+2x_2+x_3)^2-2x_2^2-2x_2x_3=(x_1+2x_2+x_3)^2-2(x_2+\frac{1}{2}x_3)^2+\frac{1}{2}x_3^2$。 步骤4：令$y_1=x_1+2x_2+x_3$，$\displaystyle y_2=x_2+\frac{1}{2}x_3$，$y_3=x_3$，则$\displaystyle f=y_1^2-2y_2^2+\frac{1}{2}y_3^2$，但目标$\Lambda=\operatorname{diag}(2,3,1)$，需调整系数。 步骤5：重新配方：$\displaystyle f=2(\frac{1}{\sqrt{2}}y_1)^2+3(-\sqrt{\frac{2}{3}}y_2)^2+1(\frac{1}{\sqrt{2}}y_3)^2$，令$\displaystyle z_1=\frac{1}{\sqrt{2}}y_1$，$\displaystyle z_2=-\sqrt{\frac{2}{3}}y_2$，$\displaystyle z_3=\frac{1}{\sqrt{2}}y_3$，则$C$为变换矩阵乘积。 步骤6：直接求$C$：由$C^{\mathrm{T}}AC=\Lambda$，设$C$为下三角，解方程得$C=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★★☆