kaoyan1basic 线性代数 第14题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $\alpha, \beta$ 为 $n$ 维列向量，$P=[\alpha, \beta], Q=[\alpha+\beta, 2 \alpha]$ 。若矩阵 $A$ 使得 $P^{\top} A P=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $Q^{\mathrm{T}} A Q=$ ）． （A）$\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 4 & 2\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right]$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：$Q=[\alpha+\beta,2\alpha]=[\alpha,\beta]\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}=P\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}$。 步骤2：$Q^{\mathrm{T}}AQ=\begin{bmatrix}1&1\\2&0\end{bmatrix}P^{\mathrm{T}}AP\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：将Q表示为P乘以一个矩阵
由Q=[α+β, 2α]和P=[α, β]，可得Q = P * [[1, 2], [1, 0]]，因为α+β = 1*α + 1*β，2α = 2*α + 0*β。
公式：Q = P * [[1, 2], [1, 0]]
提示：注意列向量的线性组合与矩阵乘法的对应关系。
步骤 2/2
目标：计算Q^T A Q
利用Q = P * M，其中M = [[1, 2], [1, 0]]，则Q^T A Q = M^T (P^T A P) M。代入已知P^T A P = [[1, 0], [0, 0]]，先计算M^T = [[1, 1], [2, 0]]，然后计算M^T * (P^T A P) = [[1, 1], [2, 0]] * [[1, 0], [0, 0]] = [[1, 0], [2, 0]]，再乘以M得[[1, 0], [2, 0]] * [[1, 2], [1, 0]] = [[1, 2], [2, 4]]。
公式：Q^T A Q = M^T (P^T A P) M
提示：矩阵乘法顺序：先算M^T乘以中间矩阵，再乘以M。

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