kaoyan1basic 线性代数 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & a+2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right]$ ，若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为 $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．
💡 答案解析
**答案**：$a=1$，可逆线性变换$x=Cy$，$C=\begin{bmatrix}1&-1&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ **解析**： 步骤1：二次型规范形为$z_1^2+z_2^2$，说明$r(A)=2$且正惯性指数为2，负惯性指数为0，故$A$半正定且秩为2。 步骤2：$\det A=0$，计算$\det A=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a+2&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^2-1=0$，得$a=1$或$a=-1$。 步骤3：当$a=1$时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&1&1\end{bmatrix}$，顺序主子式$1>0$，$\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}=2>0$，$\det A=0$，半正定，正惯性指数为2。 步骤4：当$a=-1$时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}$，顺序主子式$1>0$，$\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0$，不正定，舍去。故$a=1$。 步骤5：求可逆线性变换：$A$对应二次型$f=x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$，配方法：$f=(x_1+x_2+x_3)^2+2x_2^2$，令$z_1=x_1+x_2+x_3$，$z_2=\sqrt{2}x_2$，$z_3=x_3$，则$\displaystyle x_1=z_1-\frac{1}{\sqrt{2}}z_2-z_3$，$\displaystyle x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}z_2$，$x_3=z_3$，取$\displaystyle C=\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{\sqrt{2}}&-1\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，但规范形要求系数为1，故再令$y_1=z_1$，$y_2=\sqrt{2}z_2$，则变换矩阵为$C=\begin{bmatrix}1&-1&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★★☆