kaoyan1basic 线性代数 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 2 ，其主对角线元素之和为 $5, r(\boldsymbol{A})=2$ ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}} A x$ 满足条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 的最大值为（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{1}{5}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C） 2 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$A$各行元素之和为2，故$A\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，即$\lambda=2$是一个特征值，对应特征向量$(1,1,1)^{\mathrm{T}}$。 步骤2：主对角线元素之和为5，即$\operatorname{tr}(A)=5$，设另两个特征值为$\lambda_2,\lambda_3$，则$2+\lambda_2+\lambda_3=5$，$\lambda_2+\lambda_3=3$。 步骤3：$r(A)=2$，故$A$有一个特征值为0，设$\lambda_3=0$，则$\lambda_2=3$。 步骤4：二次型在条件$x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$下的最大值为最大特征值，即$3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定矩阵A的一个特征值和特征向量
由于A的各行元素之和均为2，即A乘以全1向量等于2倍全1向量，所以λ=2是特征值，对应特征向量(1,1,1)^T。
公式：A[1,1,1]^T = 2[1,1,1]^T
提示：注意各行元素之和为常数时，全1向量是特征向量。
步骤 2/4
目标：利用迹求特征值之和
主对角线元素之和为迹tr(A)=5，设另两个特征值为λ2,λ3，则2+λ2+λ3=5，得λ2+λ3=3。
公式：tr(A)=λ1+λ2+λ3=5
提示：实对称矩阵的特征值均为实数。
步骤 3/4
目标：利用秩确定特征值
r(A)=2，说明A有一个特征值为0，设λ3=0，则λ2=3。
公式：r(A)=非零特征值个数
提示：实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数。
步骤 4/4
目标：求二次型在单位球面上的最大值
二次型f在条件x1^2+x2^2+x3^2=1下的最大值等于A的最大特征值，即3。
公式：max_{||x||=1} x^T A x = λ_max
提示：对于实对称矩阵，二次型在单位球面上的最大值是最大特征值。
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