kaoyan1basic 线性代数 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似，则常数 $k$ 的取值范围为（ ）。 （A）$k>0$ 且 $k \neq 2$ （B）$k>0$ 且 $k \neq 3$ （C）$k<0$ 且 $k \neq-2$ （D）$k<0$ 且 $k \neq-3$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：计算$A$的特征值：$\det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}-3-\lambda&0&0\\0&-1-\lambda&2\\0&2&2-\lambda\end{vmatrix}=(-3-\lambda)[(-1-\lambda)(2-\lambda)-4]=(-3-\lambda)(\lambda^2-\lambda-6)=(-3-\lambda)(\lambda-3)(\lambda+2)$，特征值为$-3,3,-2$。 步骤2：$A$是实对称，合同要求正负惯性指数相同。$A$的正惯性指数为1（特征值3），负惯性指数为2（特征值-3,-2）。 步骤3：$B$的特征值为$3,-3,k$。合同要求$B$的正惯性指数为1，负惯性指数为2，故$k<0$。 步骤4：相似要求特征值相同，$A$与$B$特征值不同（$A$有-2，$B$有$k$），故不相似。 步骤5：$k<0$时合同，但需排除$k=-2$或$k=-3$时特征值相同？若$k=-2$，则$B$特征值为$3,-3,-2$，与$A$相同，此时$A$与$B$相似（实对称矩阵特征值相同则相似），故$k\neq-2$；若$k=-3$，特征值为$3,-3,-3$，与$A$不同，仍不相似。故$k<0$且$k\neq-2$。 **难度**：★★★☆☆