kaoyan1basic 线性代数 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right]$ ，向量 $\boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right]$ ，若齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数为 1 。 （1）求常数 $a$ 的值及非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的解； （2）求一个正交变换 $x=Q y$ ，将二次型 $f(x)=x^{\top} A x$ 化为标准形，并写出该标准形．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=-2$，解为$x=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}$，$k$为任意常数；（2）正交变换$\displaystyle Q=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}$，标准形$f= -y_1^2+2y_2^2+2y_3^2$ **解析**： 步骤1：齐次方程组$Ax=0$解空间维数为1，故$r(A)=2$，$\det A=0$。计算$\det A=\begin{vmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{vmatrix}=-(a-1)^2(a+2)=0$，得$a=1$或$a=-2$。 步骤2：当$a=1$时，$A$各行相同，$r(A)=1$，舍去；故$a=-2$。 步骤3：解$Ax=\beta$，$A=\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{bmatrix}$，$\beta=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}$，增广矩阵$\begin{bmatrix}1&1&-2&1\\1&-2&1&1\\-2&1&1&-2\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&-2&1\\0&-3&3&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$，得特解$\eta^*=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}$，齐次基础解系$\xi=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}$，通解$x=\eta^*+k\xi$。 步骤4：$A$的特征值：$\det(A-\lambda E)=0$，得$\lambda_1=-2,\lambda_2=2,\lambda_3=2$。 步骤5：对应$\lambda_1=-2$的特征向量$\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，单位化$\displaystyle p_1=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$。 步骤6：对应$\lambda_2=2$的特征向量满足$(A-2E)x=0$，得$\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$，$\alpha_3=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$，正交化：$\beta_2=\alpha_2$，$\displaystyle \beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\-1\end{bmatrix}$，单位化得$\displaystyle p_2=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{bmatrix}$，$\displaystyle p_3=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}$。 步骤7：正交变换$Q=[p_1,p_2,p_3]$，标准形$f=-2y_1^2+2y_2^2+2y_3^2$。 **难度**：★★★★☆