kaoyan1basic 线性代数 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（解答题） 22．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & s \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & \cdots & s^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2^{n-1} & 3^{n-1} & \cdots & s^{n-1}\end{array}\right]$ ，其中 $s, n$ 是正整数，证明 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，并就正整 数 $s, n$ 的情况讨论矩阵 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 的正定性．
💡 答案解析
**答案**：$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是实对称矩阵；当$s \geq n$时，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$正定；当$s < n$时，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$半正定且不正定。 **解析**：步骤1：$(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$，故为实对称矩阵。步骤2：$\boldsymbol{A}$是$n \times s$矩阵，其行向量组为范德蒙型，当$s \geq n$时，行向量组线性无关，$r(\boldsymbol{A})=n$，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$正定。步骤3：当$s < n$时，$r(\boldsymbol{A}) \leq s < n$，故$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$半正定且不正定。 **难度**：★★★☆☆