kaoyan1basic 线性代数 第23题
📝 题目
### 【基础篇】第23题（选择题） 23．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}=0$ 是（ ）． （A）柱面 （B）单叶双曲面 （C）双叶双曲面 （D）雉面
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：二次型$f(x_1,x_2,x_3)=-2x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3$对应的矩阵为$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$。步骤2：计算特征值，$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\lambda^3-10\lambda$，得特征值为$0,\pm\sqrt{10}$。步骤3：特征值一正一负一零，曲面$f=0$为锥面。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出二次型对应的矩阵
二次型 f(x1,x2,x3) = -2x1x2 - 2x1x3 + 6x2x3 对应的矩阵 A 是对称矩阵，其中 a_ij 是 xi*xj 系数的一半。因此 A = [[0, -1, -1], [-1, 0, 3], [-1, 3, 0]]。
公式：A = [[0, -1, -1], [-1, 0, 3], [-1, 3, 0]]
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵对称。
步骤 2/3
目标：计算矩阵的特征值
解特征方程 |λE - A| = 0。计算行列式得 λ^3 - 10λ = 0，即 λ(λ^2 - 10)=0，所以特征值为 λ1=0, λ2=√10, λ3=-√10。
公式：|λE - A| = λ^3 - 10λ = 0
提示：特征值计算要仔细，注意符号。
步骤 3/3
目标：根据特征值判断曲面类型
特征值一正一负一零，且二次型等于0，因此曲面为锥面。
提示：二次型等于0的曲面类型由特征值符号决定：全正或全负为椭球面；一正两负或两正一负为双曲面；有零特征值且其他同号则为柱面；有零且其他异号则为锥面。
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