kaoyan1basic 线性代数 第3题

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📝 题目

### 【强化篇】第3题（填空题） 3．$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]^{3}\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]^{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\left[\begin{array}{cc}2 & 5 \\ -3 & -4\end{array}\right]$ **解析**： 步骤1：计算$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]^3 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -3 & 1\end{array}\right]$（因为$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]^2=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right]$，再乘一次得$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -3 & 1\end{array}\right]$）。 步骤2：$\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]^5 = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$（因为该矩阵平方为单位阵，奇数次幂等于自身）。 步骤3：原式=$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -3 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$。 步骤4：先乘前两个：$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -3 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -3-1 & -6+3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -4 & -3\end{array}\right]$。 步骤5：再乘最后一个：$\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -4 & -3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -3 & -4\end{array}\right]$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：计算第一个矩阵的三次幂
计算矩阵 [[1,0],[-1,1]] 的三次幂。先计算平方：[[1,0],[-1,1]]^2 = [[1,0],[-2,1]]，再乘一次得 [[1,0],[-3,1]]。
公式：[[1,0],[-1,1]]^3 = [[1,0],[-3,1]]
提示：注意矩阵乘法的顺序，以及幂次运算的规律。
步骤 2/5
目标：计算第三个矩阵的五次幂
计算矩阵 [[0,1],[1,0]] 的五次幂。该矩阵平方为单位阵，所以奇数次幂等于自身，五次幂为 [[0,1],[1,0]]。
公式：[[0,1],[1,0]]^5 = [[0,1],[1,0]]
提示：注意交换矩阵的性质，其平方为单位阵。
步骤 3/5
目标：将原式化简为三个矩阵的乘积
原式 = [[1,0],[-3,1]] * [[1,2],[-1,3]] * [[0,1],[1,0]]。
提示：注意矩阵乘法的结合律。
步骤 4/5
目标：计算前两个矩阵的乘积
计算 [[1,0],[-3,1]] * [[1,2],[-1,3]] = [[1*1+0*(-1), 1*2+0*3], [-3*1+1*(-1), -3*2+1*3]] = [[1,2],[-4,-3]]。
公式：[[1,0],[-3,1]] * [[1,2],[-1,3]] = [[1,2],[-4,-3]]
提示：注意矩阵乘法规则：行乘列。
步骤 5/5
目标：将结果与第三个矩阵相乘
计算 [[1,2],[-4,-3]] * [[0,1],[1,0]] = [[1*0+2*1, 1*1+2*0], [-4*0+(-3)*1, -4*1+(-3)*0]] = [[2,1],[-3,-4]]。
公式：[[1,2],[-4,-3]] * [[0,1],[1,0]] = [[2,1],[-3,-4]]
提示：注意矩阵乘法顺序，最后结果即为所求。

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