kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{10}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\left[\begin{array}{ccc}1 & 10 & -44 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ **解析**： 步骤1：$A$为Jordan块，$A=E+N$，其中$N=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$，且$N^2=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$，$N^3=0$。 步骤2：由二项式定理，$A^{10}=(E+N)^{10}=E+10N+\binom{10}{2}N^2$。 步骤3：计算：$10N=\left[\begin{array}{ccc}0 & 10 & -10 \\ 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$，$\binom{10}{2}=45$，$45N^2=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 45 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$。 步骤4：相加得$A^{10}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 10 & -10+45 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 10 & 35 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$。 **难度**：★★☆☆☆