kaoyan1basic 线性代数 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，则下列说法错误的是（）。 （A）对任意的 $n$ 维列向量 $\xi$ ，有 $A \xi=0$ ，则 $A=0$ （B）对任意的 $n$ 维列向量 $\xi$ ，有 $\xi^{\mathrm{T}} A \xi=0$ ，则 $A=0$ （C）对任意的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，有 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ （D）对任意的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，有 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：选项A：对任意$\xi$，$A\xi=0$，则$A=0$，正确（取标准基）。 步骤2：选项B：对任意$\xi$，$\xi^T A\xi=0$，不能推出$A=0$，例如$A$为反对称矩阵时，$\xi^T A\xi=0$恒成立，但$A$不一定为零。 步骤3：选项C：对任意$B$，$AB=O$，则$A=O$，正确（取$B=E$）。 步骤4：选项D：对任意$B$，$B^T A B=O$，则$A=O$，正确（取$B$为各标准基向量构成的矩阵）。 步骤5：故说法错误的是B。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A的正确性
对任意n维列向量ξ，有Aξ=0。取ξ为标准基向量e_i，则Ae_i=0，即A的第i列为0，故A=0。选项A正确。
提示：利用标准基向量检验矩阵为零矩阵。
步骤 2/4
目标：判断选项B的正确性
对任意n维列向量ξ，有ξ^T Aξ=0。例如A为反对称矩阵（A^T=-A）时，ξ^T Aξ=0恒成立，但A不一定为零矩阵。因此选项B错误。
公式：ξ^T Aξ=0
提示：反对称矩阵满足二次型为零，但矩阵非零。
步骤 3/4
目标：判断选项C的正确性
对任意n阶矩阵B，有AB=O。取B为单位矩阵E，则AE=O，即A=O。选项C正确。
提示：取特殊矩阵B=E即可。
步骤 4/4
目标：判断选项D的正确性
对任意n阶矩阵B，有B^T A B=O。取B为各标准基向量构成的矩阵，例如B=[e_1, e_2, ..., e_n]=E，则E^T A E=A=O。选项D正确。
提示：取B为单位矩阵即可。
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