kaoyan1basic 线性代数 第7题

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📝 题目

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．$n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关， $\boldsymbol{\beta}=k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 全不为零，则 （ ）． （A）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关

## 第3章 矩阵运算

💡 答案解析

**答案**：B **解析**： 步骤1：$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，$\beta = k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s$，且$k_i$全不为零。 步骤2：考虑向量组$\alpha_1,\cdots,\alpha_{s-1},\beta$，由于$\beta$可由$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$线性表示，且系数$k_s\neq0$，则$\alpha_s$也可由$\alpha_1,\cdots,\alpha_{s-1},\beta$线性表示，故该组与$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$等价，秩为$s$，因此线性无关。 步骤3：选项B正确。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/1
目标：分析向量组α1,...,αs-1,β的线性相关性
已知α1,α2,...,αs线性无关，β=k1α1+...+ksαs，且k1,...,ks全不为零。考虑向量组α1,...,αs-1,β。由于β可由α1,...,αs线性表示，且ks≠0，则αs可由α1,...,αs-1,β线性表示：αs=(1/ks)(β - k1α1 - ... - k_{s-1}α_{s-1})。因此，α1,...,αs-1,β与α1,...,αs等价，故秩为s，所以α1,...,αs-1,β线性无关。
公式：αs = (1/ks)(β - k1α1 - ... - k_{s-1}α_{s-1})
提示：注意系数全不为零的条件，确保αs可被表示。

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