kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,0,2, a]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[2,1, a, 4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[0, a, 5,-6]^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a=$（ ）。 （A）-1 （B） 3 （C）-3 （D） 5
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：向量组线性相关，则矩阵$[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]$的秩小于3，即行列式（取前三行）为0。 步骤2：计算$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 2 & a & 5\end{array}\right| = 1\cdot(1\cdot5 - a\cdot a) -2\cdot(0\cdot5 - a\cdot2) +0 = (5-a^2) -2(0-2a) = 5-a^2+4a = -a^2+4a+5$。 步骤3：令其为零得$a^2-4a-5=0$，解得$a=5$或$a=-1$。 步骤4：但需验证是否确实相关，当$a=5$时，向量组秩为2；当$a=-1$时，秩也为2。选项中有-1和5，但C为-3，故可能需用第4行。 步骤5：取第1,2,4行：$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 4 & -6\end{array}\right| = 1\cdot(1\cdot(-6) - a\cdot4) -2\cdot(0\cdot(-6) - a\cdot a) +0 = (-6-4a) -2(0-a^2) = -6-4a+2a^2 = 2a^2-4a-6$。 步骤6：令为零得$a^2-2a-3=0$，解得$a=3$或$a=-1$。 步骤7：取第1,3,4行：$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 5 \\ a & 4 & -6\end{array}\right| = 1\cdot(a\cdot(-6)-5\cdot4) -2\cdot(2\cdot(-6)-5\cdot a) +0 = (-6a-20) -2(-12-5a) = -6a-20+24+10a = 4a+4$。 步骤8：令为零得$a=-1$。 步骤9：取第2,3,4行：$\left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & a \\ 2 & a & 5 \\ a & 4 & -6\end{array}\right| = 0 -1\cdot(2\cdot(-6)-5\cdot a) + a\cdot(2\cdot4 - a\cdot a) = -(-12-5a) + a(8-a^2) = 12+5a+8a-a^3 = -a^3+13a+12$。 步骤10：令为零得$a^3-13a-12=0$，因式分解$(a+1)(a^2-a-12)=0$，得$a=-1,4,-3$。 步骤11：公共解为$a=-1$，故当$a=-1$时所有4个3阶子式均为0，线性相关。选项A为-1，C为-3，故应选A。 **难度**：★★★☆☆