kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关，则 $k \neq 1$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}+k \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta}+k \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\gamma}$ 线性无关的（）。 （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：设向量组$\alpha+k\beta, \beta+k\gamma, \alpha-\gamma$，用矩阵表示：$[\alpha,\beta,\gamma]$乘以系数矩阵$C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 0 \\ 0 & k & -1\end{array}\right]$。 步骤2：由于$\alpha,\beta,\gamma$线性无关，新向量组线性无关当且仅当$|C|\neq0$。 步骤3：计算$|C|=1\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot k) -0 +1\cdot(k\cdot k -1\cdot0) = -1 + k^2 = k^2-1$。 步骤4：$|C|\neq0$当且仅当$k\neq\pm1$，故$k\neq1$是必要条件，但不是充分条件（还需$k\neq-1$），因此$k\neq1$是必要非充分条件。 步骤5：选项C正确。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将向量组表示为矩阵乘积形式
设向量组 α+kβ, β+kγ, α-γ，用矩阵表示： [α,β,γ] 乘以系数矩阵 C = [[1,0,1],[k,1,0],[0,k,-1]]。
提示：注意系数矩阵的列对应新向量在原基下的坐标。
步骤 2/5
目标：利用线性无关的充要条件
由于 α,β,γ 线性无关，新向量组线性无关当且仅当系数矩阵 C 的行列式 |C| ≠ 0。
提示：线性无关向量组乘以可逆矩阵仍线性无关。
步骤 3/5
目标：计算行列式 |C|
计算 |C| = 1*(1*(-1)-0*k) - 0 + 1*(k*k - 1*0) = -1 + k^2 = k^2 - 1。
公式：|C| = k^2 - 1
提示：按第一行展开行列式。
步骤 4/5
目标：分析条件 k≠1 与行列式非零的关系
|C| ≠ 0 当且仅当 k ≠ ±1。因此 k≠1 是必要的（因为若 k=1 则行列式为0），但不是充分的（因为 k=-1 时行列式也为0）。
提示：注意 k≠1 不能推出 k≠-1。
步骤 5/5
目标：得出结论
k≠1 是向量组线性无关的必要非充分条件，故选 C。
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