kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{P}$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda, \xi$ 分别是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和对应的特征向量，则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{P}$ 的特征值和对应的特征向量分别是（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}, \boldsymbol{P}^{-1} \xi$ （B）$\displaystyle \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}, \boldsymbol{\xi}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{\lambda}, P \xi$ （D）$\displaystyle \frac{1}{\lambda}, \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{\xi}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$A\xi=\lambda\xi$，且$A$可逆，则$\lambda\neq0$，$A^*=|A|A^{-1}$。 步骤2：$\displaystyle A^*\xi=|A|A^{-1}\xi=|A|\cdot\frac{1}{\lambda}\xi=\frac{|A|}{\lambda}\xi$，故$\displaystyle \frac{|A|}{\lambda}$是$A^*$的特征值，$\xi$是对应特征向量。 步骤3：$P^{-1}A^*P$的特征值与$A^*$相同，特征向量为$P^{-1}\xi$（因为$\displaystyle P^{-1}A^*P(P^{-1}\xi)=P^{-1}A^*\xi=P^{-1}(\frac{|A|}{\lambda}\xi)=\frac{|A|}{\lambda}(P^{-1}\xi)$）。 **难度**：★★★☆☆