kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．$\lambda=-1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值的充分必要条件为（ ）． （A）$A^{2}=E$ （B）$r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\lambda=-1$是$A$的特征值当且仅当$|A+E|=0$，即$A+E$不可逆，等价于$r(A+E)
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解特征值的定义
λ是A的特征值当且仅当|A-λE|=0。因此λ=-1是A的特征值当且仅当|A+E|=0，即A+E不可逆，等价于r(A+E)
公式：|A+E|=0 ⇔ r(A+E)
提示：特征值的定义是解题的基础，注意符号变换。
步骤 2/5
目标：分析选项A
A^2=E说明A的特征值满足λ^2=1，即λ=±1，但未必包含-1（例如A=E时特征值全为1）。因此A^2=E是λ=-1为特征值的既不充分也不必要条件。
公式：A^2=E ⇒ λ=±1
提示：注意充分必要条件要求双向成立，举反例可排除。
步骤 3/5
目标：分析选项C
若A每行元素和为-1，则A(1,1,...,1)^T = -1*(1,1,...,1)^T，所以-1是特征值。但反之不成立，例如A=-E时特征值为-1，但每行和为-1？实际上A=-E每行和为-1，但若A有特征值-1，不一定每行和为-1。因此是充分不必要条件。
公式：A(1,...,1)^T = -1*(1,...,1)^T ⇒ λ=-1
提示：行和条件只能推出特征值，但反之不一定。
步骤 4/5
目标：分析选项D
A^T=-A是反对称矩阵，其特征值为0或纯虚数，不可能为-1（实数）。|E-A|=0说明1是A的特征值，与-1无关。因此D错误。
公式：反对称矩阵特征值为0或纯虚数
提示：注意矩阵类型的特征值性质。
步骤 5/5
目标：确认选项B
由第一步，λ=-1是特征值等价于|A+E|=0，即A+E不可逆，等价于r(A+E)
公式：r(A+E)
提示：秩小于n是矩阵不可逆的充要条件。
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