kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量， $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的线性无关的特征向量，则矩阵 $P$ 不可以是（ ）。 （A）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1},-2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ （B）$\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{2}-2 \alpha_{3}\right]$ （C）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$ （D）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$P$应为可逆矩阵，且其列向量为$A$的特征向量，且属于$\lambda=1$的列只能有一个，属于$\lambda=3$的列有两个且线性无关。 步骤2：选项A：$\alpha_1$属于1，$-2\alpha_2$和$\alpha_3$属于3且线性无关，可逆，正确。 步骤3：选项B：$\alpha_1$属于1，$\alpha_2+\alpha_3$和$\alpha_2-2\alpha_3$属于3，且线性无关（因为系数矩阵$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$可逆），正确。 步骤4：选项C：$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_2$只是顺序不同，正确。 步骤5：选项D：$\alpha_1+\alpha_2$不是$A$的特征向量（因为属于不同特征值的和不是特征向量），故$P$不可取。 **难度**：★★★☆☆