kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设
$$ A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -4 & 0 \\ 4 & -5 & 0 \\ a & 2 & -1 $\end{array}\right],$ $$
若 $\boldsymbol{A}$ 的三重特征值 $\lambda$ 对应两个线性无关的特征向量，则 $a=$（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C）-1 （D）-2
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$A$的特征多项式为$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}3-\lambda & -4 & 0 \\ 4 & -5-\lambda & 0 \\ a & 2 & -1-\lambda\end{vmatrix}=(-1-\lambda)\begin{vmatrix}3-\lambda & -4 \\ 4 & -5-\lambda\end{vmatrix}=(-1-\lambda)[(3-\lambda)(-5-\lambda)+16]=(-1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda+1)=(-1-\lambda)(\lambda+1)^2=-(\lambda+1)^3$。 步骤2：故三重特征值$\lambda=-1$。 步骤3：$\lambda=-1$对应两个线性无关的特征向量，即$r(A+E)=3-2=1$。 步骤4：$A+E=\begin{pmatrix}4 & -4 & 0 \\ 4 & -4 & 0 \\ a & 2 & 0\end{pmatrix}$，秩为1要求所有行成比例。前两行成比例，第三行需与第一行成比例，即存在$k$使$(a,2,0)=k(4,-4,0)$，得$a=4k, 2=-4k$，解得$\displaystyle k=-\frac12$，$a=-2$。 **难度**：★★★☆☆