kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 3 维非零列向量， $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{\beta} \\ \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} & 1\end{array}\right]$ ，则 $r(\boldsymbol{B})=2$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}A x=\beta, \\ \alpha^{\mathrm{T}} x=1\end{array}\right.$ 有解的（ ）。 （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：方程组$\begin{cases} \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{\beta} \\ \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}=1 \end{cases}$有解等价于$\boldsymbol{\beta}$可由$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示且$\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}=1$。步骤2：$r(\boldsymbol{B})=2$，而$\boldsymbol{A}$秩为2，则$\boldsymbol{B}$的最后一列可由前3列线性表示，即存在$\boldsymbol{x}$使$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{\beta}$且$\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}=1$，反之亦然，故为充要条件。 **难度**：★★★☆☆