kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（解答题） 3．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] ; \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{c}a \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ b\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\ c \\ 1\end{array}\right]$, 问 $a, b, c$ 为何值时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 等价，且当向量组等价时，求 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的线性表示式及 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 的线性表示式。
💡 答案解析
**答案**：$a=3,b=1,c=-1$；$\boldsymbol{\beta}_1=2\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$；$\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1=\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_1+\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_3$ **解析**：步骤1：向量组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关（行列式非零）。步骤2：等价要求$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示且秩为3，即$|\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3| \neq 0$且$\boldsymbol{\beta}_i$在$\boldsymbol{\alpha}$基下坐标唯一。解线性方程组得$a=3,b=1,c=-1$。步骤3：求$\boldsymbol{\beta}_1$由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$表示，解$[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$得$\boldsymbol{x}=[2,-1,1]^{\mathrm{T}}$，故$\boldsymbol{\beta}_1=2\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$。步骤4：求$\boldsymbol{\alpha}_1$由$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$表示，解$[\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3]\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\alpha}_1$得$\displaystyle \boldsymbol{y}=[\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}]^{\mathrm{T}}$，故$\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1=\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_1+\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_3$。 **难度**：★★★☆☆