kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．设3维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[5,3,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[1,3,-1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=[-2,2,-3]^{\mathrm{T}}$ 。且 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，满足 $A \alpha_{1}=\alpha_{2}, A \alpha_{2}=\alpha_{3}, A \alpha_{3}=\alpha_{4}$ ，求 $A \alpha_{4}$ 。
💡 答案解析
**答案**：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_4=[-7,5,-8]^{\mathrm{T}}$ **解析**：步骤1：将$\boldsymbol{\alpha}_4$用$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，设$\boldsymbol{\alpha}_4=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+x_3\boldsymbol{\alpha}_3$，解方程组得$x_1=1,x_2=-1,x_3=0$，即$\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2$。步骤2：则$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3=[5,3,2]^{\mathrm{T}}-[1,3,-1]^{\mathrm{T}}=[4,0,3]^{\mathrm{T}}$。 **难度**：★★☆☆☆