kaoyan1basic 线性代数 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 是 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，记向量组（I）为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ ，向量组（II）为 $A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \cdots, A \alpha_{1}$ ，则下列命题正确的是（ ）。 （A）若向量组（I）线性无关，则向量组（II）线性无关 （B）若向量组（II）线性无关，则向量组（I）线性无关 （C）若向量组（II）线性相关，则向量组（I）线性相关 （D）向量组（I）与向量组（II）具有不同的线性相关性
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若向量组(II)线性无关，即$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_s$线性无关，则存在不全为零的$k_i$使$\sum k_i\boldsymbol{\alpha}_i=\boldsymbol{0}$时，$\boldsymbol{A}(\sum k_i\boldsymbol{\alpha}_i)=\boldsymbol{0}$，由(II)无关得$k_i=0$，故(I)无关。步骤2：反之不成立，如$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$时(I)无关但(II)相关。故B正确。 **难度**：★★☆☆☆