kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关， $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关。 （1）证明：存在 3 维非零列向量 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi}$ 既可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性表示； （2）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,-2,3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[2,1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{1}=[-2,1,4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=[-5,-3,5]^{\mathrm{T}}$ ，求既可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性表示的所有非零列向量 $\boldsymbol{\xi}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{\xi}=k[1,7,5]^{\mathrm{T}}$，$k$为非零常数。 **解析**：步骤1：存在性：考虑4个向量$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2$，在3维空间中必线性相关，存在不全为零的系数使$k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+l_1\boldsymbol{\beta}_1+l_2\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{0}$，令$\boldsymbol{\xi}=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2=-l_1\boldsymbol{\beta}_1-l_2\boldsymbol{\beta}_2$，则$\boldsymbol{\xi}$非零（否则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$或$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2$相关）。步骤2：求具体$\boldsymbol{\xi}$：设$\boldsymbol{\xi}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2=y_1\boldsymbol{\beta}_1+y_2\boldsymbol{\beta}_2$，得$x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2-y_1\boldsymbol{\beta}_1-y_2\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{0}$，解齐次方程组得基础解系$[1,1,1,1]^{\mathrm{T}}$，故$\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2=[3,-1,4]^{\mathrm{T}}$，所有非零向量为$k[3,-1,4]^{\mathrm{T}}$。 **难度**：★★★☆☆