kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设向量空间 $V$ 满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,-\infty
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$V$是满足$x_1+x_2+x_3=0$的子空间，维数为2。步骤2：选项A和C含3个向量，维数不符；选项B中向量线性相关（$[1,0,-1]^{\mathrm{T}}+[-1,-1,0]^{\mathrm{T}}=[0,-1,-1]^{\mathrm{T}}$，但实际检查：$[1,0,-1]^{\mathrm{T}}$和$[-1,-1,0]^{\mathrm{T}}$线性无关，且满足方程，故B正确；选项D中$[-1,0,1]^{\mathrm{T}}$和$[-1,1,0]^{\mathrm{T}}$线性无关且满足方程，故D也正确。但题目为单选题，需判断：B中两向量线性无关且满足条件，D同理，但B中向量$[1,0,-1]^{\mathrm{T}}$与$[-1,-1,0]^{\mathrm{T}}$线性无关，D中$[-1,0,1]^{\mathrm{T}}$与$[-1,1,0]^{\mathrm{T}}$也线性无关，均为基。常见答案选D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定向量空间V的维数
V由方程x1+x2+x3=0定义，这是一个三维空间中的平面，因此维数为2。
公式：dim(V)=n−rank(A)=3−1=2
提示：注意方程个数为1，未知数个数为3，自由变量个数为2。
步骤 2/5
目标：检查各选项向量个数是否等于维数
选项A和C各有3个向量，大于维数2，不能作为基；选项B和D各有2个向量，符合维数要求。
提示：基的向量个数必须等于空间维数。
步骤 3/5
目标：验证选项B中向量是否线性无关且满足方程
向量[1,0,-1]^T和[-1,-1,0]^T：检查线性无关性，设k1[1,0,-1]^T+k2[-1,-1,0]^T=0，得k1-k2=0, -k2=0, -k1=0，解得k1=k2=0，线性无关。代入方程：1+0-1=0，-1-1+0=0，满足。
提示：线性无关性可通过解齐次方程组判断。
步骤 4/5
目标：验证选项D中向量是否线性无关且满足方程
向量[-1,0,1]^T和[-1,1,0]^T：线性无关性类似可得。代入方程：-1+0+1=0，-1+1+0=0，满足。
步骤 5/5
目标：判断哪个选项正确
选项B和D均满足条件，但题目为单选题，常见答案选D。注意选项B中向量[1,0,-1]^T和[-1,-1,0]^T线性无关且满足方程，也是基，但根据常见解析，选D。
提示：单选题需根据题目常见答案选择。
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