kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．向量空间 $V=\left\{(x, y, z) \mid(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3}, x-2 z=0\right\}$ 的一个基为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\{[2,0,1]^{\mathrm{T}},[0,1,0]^{\mathrm{T}}\}$（答案不唯一） **解析**：步骤1：$V=\{(x,y,z)\mid x-2z=0\}$，即$x=2z$，自由变量为$y,z$。步骤2：取$y=1,z=0$得$(0,1,0)$；取$y=0,z=1$得$(2,0,1)$，构成一个基。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定向量空间V的约束条件
由x-2z=0得x=2z，因此V中的向量形式为(2z, y, z)，其中y,z为自由变量。
公式：x=2z
提示：注意自由变量的个数决定基的向量个数。
步骤 2/2
目标：选取自由变量构造基向量
令y=1,z=0，得向量(0,1,0)；令y=0,z=1，得向量(2,0,1)。这两个向量线性无关且张成V，构成一个基。
提示：基的选取不唯一，但必须线性无关且张成空间。
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