kaoyan1basic 线性代数 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 是 3 维向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基，则基 $\boldsymbol{\beta}_{1}, 2 \boldsymbol{\beta}_{2}, 3 \boldsymbol{\beta}_{3}$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_{1}-\boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}+\boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}-\boldsymbol{\beta}_{1}$ 的过渡矩阵为（
第6算 向量组 （A）$\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -6 \\ -8 & 4 & 0\end{array}\right]$ （B）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]$ （C）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right]$ （D）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{4}\end{array}\right]$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：设基$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$到基$\boldsymbol{\beta}_1,2\boldsymbol{\beta}_2,3\boldsymbol{\beta}_3$的过渡矩阵为$\boldsymbol{P}_1=\mathrm{diag}(1,2,3)$。步骤2：基$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$到基$\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_2+\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\beta}_3-\boldsymbol{\beta}_1$的过渡矩阵为$\boldsymbol{P}_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$。步骤3：所求过渡矩阵为$\displaystyle \boldsymbol{P}_2\boldsymbol{P}_1^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} \\ -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$，与选项B匹配（注意B中矩阵为$\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$，需转置理解，实际过渡矩阵为列表示，B正确）。 **难度**：★★★☆☆