kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．由向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,0,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[1,2,3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[2,2,4]^{\mathrm{T}}$ 生成的向量空间 $V=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right\}= \left\{k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3} \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbf{R}\right\}$ ，则 $V$ 的一个规范正交基为 $\_\_\_\_$ ．
## 第7章 特征值与特征向量
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}[1,0,1]^{\mathrm{T}}, \frac{1}{\sqrt{6}}[-1,2,1]^{\mathrm{T}}\right\}$ **解析**：步骤1：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$的秩为2，取极大无关组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$。步骤2：正交化：$\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1=[1,0,1]^{\mathrm{T}}$；$\displaystyle \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1=[1,2,3]^{\mathrm{T}}-\frac{4}{2}[1,0,1]^{\mathrm{T}}=[-1,2,1]^{\mathrm{T}}$。步骤3：单位化：$\displaystyle \boldsymbol{\eta}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}[1,0,1]^{\mathrm{T}}$，$\displaystyle \boldsymbol{\eta}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}[-1,2,1]^{\mathrm{T}}$。 **难度**：★★☆☆☆