kaoyan1basic 线性代数 第1题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{P}$ 为 3 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ．若 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\right. \left.\alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right]$ ，则 $Q^{-1} A Q=(\quad)$ 。 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

💡 答案解析

**答案**：A **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}(1,1,2)$，知$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1=\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3=2\boldsymbol{\alpha}_3$。步骤2：$\boldsymbol{Q}=[\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]$，则$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2)=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3=2\boldsymbol{\alpha}_3$，故$\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\mathrm{diag}(1,1,2)$，但注意顺序：$\boldsymbol{Q}$的第一列对应特征值1，第二列对应1，第三列对应2，故为$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，即选项A。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：利用已知条件得出特征值与特征向量的关系
由 $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ 可知，$A$ 的特征值为 $1,1,2$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，即 $A\alpha_1 = \alpha_1$, $A\alpha_2 = \alpha_2$, $A\alpha_3 = 2\alpha_3$。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$ 表示 $A$ 相似于对角矩阵，$P$ 的列向量为特征向量。
提示：注意特征值与特征向量的对应关系。
步骤 2/3
目标：计算 $Q$ 的列向量在 $A$ 作用下的结果
由于 $Q = [\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3]$，计算：$A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = \alpha_1 + \alpha_2$，$A\alpha_2 = \alpha_2$，$A\alpha_3 = 2\alpha_3$。因此 $Q$ 的列向量也是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别为 $1,1,2$。
公式：线性变换的线性性：$A(\alpha+\beta)=A\alpha+A\beta$。
提示：注意 $\alpha_1+\alpha_2$ 仍是特征值为1的特征向量。
步骤 3/3
目标：写出 $Q^{-1}AQ$ 的结果
因为 $Q$ 的列向量是 $A$ 的特征向量，且特征值依次为 $1,1,2$，所以 $Q^{-1}AQ = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，即选项A。
公式：若 $Q$ 由特征向量组成，则 $Q^{-1}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$。
提示：注意特征值的顺序与 $Q$ 的列向量顺序一致。

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