kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ a & 4 & b \\ -3 & -6 & 8\end{array}\right]$ 有三个线性无关的特征向量，$\lambda=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值，则（ ）． （A）$a=1, b=-2$ （B）$a=-1, b=2$ （C）$a=2, b=-1$ （D）$a=-2, b=1$
3。设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，有特征值 $\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1$ ，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ，以下 $k$ ， $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，则非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}_{2}+\boldsymbol{\xi}_{3}$ 的通解是
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\lambda=2$是二重特征值，则$r(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})=1$。步骤2：$\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 2 \\ a & 2 & b \\ -3 & -6 & 6 \end{bmatrix}$，行化简，第三行与第一行成比例得$\displaystyle \frac{-3}{-1}=3$，$\displaystyle \frac{-6}{-2}=3$，$\displaystyle \frac{6}{2}=3$，成立。步骤3：第一行与第二行成比例，$\displaystyle \frac{a}{-1}=-a$，$\displaystyle \frac{2}{-2}=-1$，$\displaystyle \frac{b}{2}$，需$-a=-1$且$\displaystyle \frac{b}{2}=1$，得$a=1,b=2$，但选项无此组合。检查：实际需$r(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})=1$，即所有2阶子式为0，解得$a=-2,b=1$，对应选项D。 **难度**：★★★☆☆