kaoyan1basic 线性代数 第4题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有通解 $k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}$（ $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数）， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{3}$ ，则存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{P}$ 是（ ）。 （A）$\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{3}\right]$ （B）$\left[\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}, \boldsymbol{\xi}_{1}\right]$ （C）$\left[\xi_{1}+\xi_{2},-\xi_{2}, 2 \xi_{3}\right]$ （D）$\left[\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{2}-\boldsymbol{\xi}_{3}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right]$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：由条件，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_1=\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_2=\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_3=\boldsymbol{\xi}_3$，故$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2$对应特征值0，$\boldsymbol{\xi}_3$对应特征值1。 步骤2：可逆矩阵$\boldsymbol{P}$的列应为特征向量，且顺序对应特征值0,0,1。选项C中：$\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2$和$-\boldsymbol{\xi}_2$均为特征值0的特征向量，$2\boldsymbol{\xi}_3$为特征值1的特征向量，且线性无关。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：分析已知条件，确定特征值与特征向量
由题意，Ax=0的通解为k1ξ1+k2ξ2，说明ξ1,ξ2是Ax=0的基础解系，即Aξ1=0，Aξ2=0，所以ξ1,ξ2是特征值0的特征向量。又Aξ3=ξ3，所以ξ3是特征值1的特征向量。
公式：Aξ=λξ
提示：注意特征向量的定义：非零向量ξ满足Aξ=λξ。
步骤 2/3
目标：确定可逆矩阵P的列向量应满足的条件
要使P^{-1}AP=diag(0,0,1)，P的列向量必须依次是特征值0,0,1的特征向量，且线性无关。
公式：P^{-1}AP=Λ，P的列是特征向量
提示：对角矩阵的对角元顺序与P的列向量顺序对应。
步骤 3/3
目标：逐一验证选项
选项A：列向量为ξ1, ξ2, ξ1+ξ3。前两列是特征值0的特征向量，第三列ξ1+ξ3不是特征向量，因为A(ξ1+ξ3)=0+ξ3=ξ3，不等于λ(ξ1+ξ3)，故错误。 选项B：列向量为ξ2, ξ3, ξ1。第二列ξ3对应特征值1，但第三列ξ1对应特征值0，顺序应为0,0,1，这里顺序为0,1,0，故错误。 选项C：列向量为ξ1+ξ2, -ξ2, 2ξ3。前两列：A(ξ1+ξ2)=0，A(-ξ2)=0，是特征值0的特征向量；第三列A(2ξ3)=2ξ3，是特征值1的特征向量。且三者线性无关（因为ξ1,ξ2线性无关，ξ3与它们无关），故正确。 选项D：列向量为ξ1+ξ2, ξ2-ξ3, ξ3。第二列ξ2-ξ3不是特征向量，因为A(ξ2-ξ3)=0-ξ3=-ξ3，不等于λ(ξ2-ξ3)，故错误。
提示：验证特征向量时，直接计算A乘以该向量是否等于常数倍。

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