kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的某一行元素全是 1 ，且 $\boldsymbol{A}$ 有 3 个特征向量 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right], \boldsymbol{\xi}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\xi}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right]$ ，则 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：设$\boldsymbol{A}$的某一行全为1，则$\boldsymbol{A}$有特征值$\lambda=1$（对应特征向量$(1,1,1)^\mathrm{T}$），且$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3$均为特征向量。 步骤2：计算$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3$对应的特征值：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_1=\lambda_1\boldsymbol{\xi}_1$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_2=\lambda_2\boldsymbol{\xi}_2$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_3=\lambda_3\boldsymbol{\xi}_3$，利用行和为1的条件可解得$\lambda_1=0,\lambda_2=2,\lambda_3=-1$。 步骤3：迹$\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=0+2+(-1)=1$。 **难度**：★★★☆☆