kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 分别是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值一 1 与 1 的特征向量，且
$$ (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{2}=\mathbf{0} . $$
（1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆； （2）计算 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{P}$ ．
💡 答案解析
**答案**： （1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ **解析**： （1）步骤1：由条件，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1=-\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_2$，且$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2$，即$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_2$。 步骤2：若$k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+k_3\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$，左乘$\boldsymbol{A}$得$-k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+k_3(\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_2)=\boldsymbol{0}$，两式相减得$2k_2\boldsymbol{\alpha}_2+k_3\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{0}$，故$k_2=0$，进而$k_1=0,k_3=0$，故$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，$\boldsymbol{P}$可逆。 （2）步骤1：$\boldsymbol{A}$的特征值为$-1,1,1$，故$|\boldsymbol{A}|=-1$，$\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}=-\boldsymbol{A}^{-1}$。 步骤2：计算$\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{\alpha}_1=-\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{\alpha}_1=-\frac{1}{-1}\boldsymbol{\alpha}_1=\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{\alpha}_2=-\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{\alpha}_2=-\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{\alpha}_3=-\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{\alpha}_3$，由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_2$得$\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{\alpha}_2$，故$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_2$，从而$\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{\alpha}_3=-(\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_2)=-\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_2$。 步骤3：$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{P}$的第$i$列对应$\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{\alpha}_i$在基$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$下的坐标，故$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$。 **难度**：★★★★☆