kaoyan1basic 线性代数 第7题

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📝 题目

### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关，其中 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维非零列向量，且 $\boldsymbol{A}^{3} \boldsymbol{\alpha}=3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-2 \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**：$0,1,-3$ **解析**： 步骤1：由$\boldsymbol{A}^3\boldsymbol{\alpha}=3\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}-2\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\alpha}$，得$\boldsymbol{A}^3\boldsymbol{\alpha}+2\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\alpha}-3\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$，即$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^2+2\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{I})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$。 步骤2：设$\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}$，则$\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\alpha}+2\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}-3\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$，即$(\boldsymbol{A}^2+2\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{I})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$，故$\boldsymbol{A}$的最小多项式整除$\lambda^2+2\lambda-3=(\lambda-1)(\lambda+3)$，且$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\alpha}$线性无关，故$\boldsymbol{A}$有特征值$0,1,-3$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：整理已知条件
由 A^3 α = 3Aα - 2A^2 α，移项得 A^3 α + 2A^2 α - 3Aα = 0，即 A(A^2 + 2A - 3I)α = 0。
公式：A^3 α + 2A^2 α - 3Aα = 0
提示：注意将方程整理为矩阵多项式乘以向量的形式。
步骤 2/4
目标：提取公因子并化简
设 β = Aα，则原式化为 A^2 α + 2Aα - 3α = 0，即 (A^2 + 2A - 3I)α = 0。
公式：(A^2 + 2A - 3I)α = 0
提示：由于 α 非零，可知 A^2+2A-3I 不可逆，即其行列式为0。
步骤 3/4
目标：确定最小多项式因子
由 (A^2+2A-3I)α=0 知，多项式 λ^2+2λ-3 = (λ-1)(λ+3) 是 A 的零化多项式的一部分，但需结合向量组线性无关确定特征值。
公式：λ^2+2λ-3 = (λ-1)(λ+3)
提示：注意最小多项式整除该多项式，但可能还有因子 λ。
步骤 4/4
目标：利用线性无关性推导特征值
由于 α, Aα, A^2α 线性无关，则 A 在由它们张成的子空间上的限制的极小多项式次数为3，且包含因子 λ(λ-1)(λ+3)，故特征值为0,1,-3。
提示：线性无关性保证了特征值的多样性。

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